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规一化变换（unitary transform）
离散傅立叶变换（或可能是透过适当的尺度选择）是一个规一化的变换，即符合能量保留（preserves energy）。可以达到规一化的合适尺度是，这使得能量物理意义上跟在傅立叶定义上是一样的，即满足傅里叶变换（帕塞瓦尔定理）。（其他未规一化的尺度，也普遍被使用以方便计算；例如，折积（折积定理 ）需较简单的形式与尺度选择，详述于离散傅立叶变换条目中） 。
其他离散傅立叶变换矩阵的性质，包括其特征值（特征向量），与折积的关系，应用等，请参见离散傅立叶变换条目。
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伊斯梅尔希望将他的领土延展到整个尼罗河流域以至其源头及整个非洲红海海岸。有传言指这些地区丰富的资源及肥沃的土地促成伊斯迈尔的扩张政策，其扩张政策的矛头直指约翰尼斯四世统治的埃塞俄比亚。1865年，奥斯曼帝国将哈贝希（Habesh，包括马萨瓦及萨瓦金）割让给伊斯梅尔。哈贝希与埃塞俄比亚接壤，原本只是一块长条形的海岸地区，随后向属于埃塞俄比亚统治者的内陆扩张。伊斯梅尔在占领了原本属于鄂图曼帝国的哈贝希省后，开展了一些新的经济方案，如巴卡的大型棉花种植场。1872年，新成立的「东苏丹及红海海岸省」统治者沃纳·穆辛格帕夏吞并了波哥斯（包括科伦）。1875年10月，伊斯梅尔的军队攻占哈马森高原，这地区以往是埃塞俄比亚的附庸。11月，这支军队在根德特战役全军覆没。1876年，伊斯迈尔的军队在古拉（Gura'）再次被约翰尼斯四世的军队击败。伊斯梅尔的儿子哈桑被俘，在交纳大量赎金后才被释放。之后这地区陷入冷战，1884年签署停战协定才结束，波哥斯地区须交还埃塞俄比亚。不久后，红海海岸省被意大利人占领，成为厄立特里亚殖民地的基础。
伊斯梅尔与苏伊士运河的关系紧密，他意识到埃及的位置对于苏伊士运河的建造举足轻重。他登位后拒绝承认塞伊德一世与苏伊士运河公司达成的共识。这可追溯至拿玻仑三世作出的裁定，他要求埃及须向苏伊士运河公司支付三百八十万英镑作为该公司将来可能会因转变而损失的赔偿，而伊斯梅尔则坚持只给予原本的补助。之后，伊斯梅尔用尽一切办法争取在国际及公众面前露面。1867年，他访问伦敦及巴黎，受到维多利亚女王的接见及伦敦市长的欢迎。在英国，他又与鄂图曼帝国苏丹一同参与海上阅兵。1869年，他再度到访英国。运河正式开启时，伊斯梅尔举行了空前的庆典，邀请世界各地的权贵出席。苏伊士运河地区的中心城市伊斯梅利亚即以他的名字命名。
与埃塞俄比亚的战事使埃及陷入债务泥沼，欧洲势力常以此为理由迫使伊斯梅尔让步。其中一个最令埃及人不能接受的是混合法庭制度，欧洲人由他们国家的法官主审。金融危机的降临使国债高达十亿英镑（当他还是总督的时候，国债仅为三百万），伊斯梅尔以更高的利息借贷以偿还债务，因而造成这种局面，债权人开始忧虑。国际法庭作出裁定，伊斯梅尔不能再借贷，他唯有出售苏伊士运河的股份予英国政府，价值£3,976,582，外国亦开始介入。
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托尔斯沃格（Torsvåg）是挪威特罗姆斯-芬马克郡卡尔绥市镇瓦恩岛西北海岸的一个渔村。最近的城市是位于托尔斯沃格西南约90公里的特罗姆瑟。有许多考古证据表明，自石器时代以来，托尔斯沃格就有定居点。
托尔斯沃格村包括瓦恩岛上的一个村庄区域和Kåja小岛上的一个区域，位于近海。有一条堤道连接两地，形成一个被渔村环绕的美丽港口。港口入口处的防波堤在大海的入口处形成了一个舒适的港口。Vanna鱼类加工厂 Torsvågbruket位于Kåja岛上，托尔斯沃格灯塔位于岛上的最高点。今天，托尔斯沃格只有10到20名居民，但在其历史早期，这个渔村经常有数百名居民。
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