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后者是前者和它们的公共边界的单位球面的不交并集，
单位球的形状完全取决于所选的范数；它可能有角，例如它可以看起来象，也就是在选取中的范数的情况。圆球可以理解为一般的希尔伯特空间范数的情况，在有限维的情况中依赖于欧氏距离；它的边界就是通常所指的单位球面。
上面的三个定义都可以直接推广到度量空间中相对于某个原点的相应概念。但是，拓扑上的考虑（内部，闭包，边界）不一定可以同样的推广（例如，在超度量空间，所有三者同时是即开且闭集合），而单位球在某些度量空间甚至可能是空集。
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2011年9月18日，吐瓦鲁与阿布哈兹正式建交。然而，熟悉外交事务的尤里斯·古尔比斯（Juris Gulbis）曾指出，阿布哈兹仅能仰赖莫斯科的外交金援，无法提供盟友吐瓦鲁后续的资金需求。2013年4月，吐瓦鲁有意追随万那杜结束对阿布哈兹的外交支持。吐瓦鲁官员还联系他，乔治亚提供250000美元作为交换代价：
2013年，吐瓦鲁政府换届。新总理埃内尔·索本嘉上任之后与乔治亚开始积极的交涉。
2014年3月31日，吐瓦鲁和乔治亚的双方代表在第比利斯签署建交协议。协议还强调吐瓦鲁承认乔治亚以及其国际公认的边界内，乔治亚拥有阿布哈兹和南奥塞梯地区。重申其对乔治亚主权与领土完整的支持，以及对国际法原则的尊重。吐瓦鲁因此撤销2011年对阿布哈兹的承认。
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