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原群的态射是一个函数 ，将原群 M 映射至原群 N 上，并保留其二元运算：
其中的 和 分别代表著在 M 和 N 上的二元运算。
在一集合 X 上的自由原群 是指由集合 X 产生出的「最一般可能的」自由原群（并没有任何的关系或公理在产生子上；详见自由对象）。自由原群可以用计算机科学中熟悉的词汇来描述，如同其树叶被 X 内的元素标示的二元树的原群，其运算是将树在树根上连结。因此，自由原群在句法学中有著很基本的重要性。
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在日俄战争期间，第8师团参与了著名的黑沟台会战和随后的奉天会战。从1910年起，它被分派到韩国驻守，亦参加了西伯利亚出兵。
在1931年的九一八事变之后，第8师团派出其第4混成旅团参加入侵满洲的行动。其主力于1932年进入大陆，驻扎在满洲并受关东军指挥。在那里，它参加了稳定新成立的满洲国的行动。它的第32步兵团于1939年被转移到新成立的第24师团。
1944年9月，第8师团被重新分配到菲律宾的由山下奉文大将指挥的第14方面军之中，被部署在吕宋岛和雷伊泰岛。在雷伊泰岛战役和马尼拉战役中与菲律宾和美国联合部队交战，几乎全军覆没，作为一个行动单位已不复存在。
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然而这场战役并没有带给吉尔曼或者斯科梅尔任何喘息。在一周后，新罕布什尔第三团调往费城附近重兵设防。而当时美国首都已经被英军占领，新英格兰军被迫在福吉谷承受寒冷的冬天。吉尔曼的职位也到了指挥一级，当华盛顿将军任命斯科梅尔为大陆军民兵指挥官，吉尔曼也被名斯科梅尔的助理。1778年，他获得上尉头衔。
在随后的战争中，他与大陆军的军事领导们保持亲密的联系，他的职责是保持军队中的任务联接，包括华盛顿将军、施托伊本男爵、亨利·诺克斯、弥敦内尔·格连等等。他随后参与了蒙茅斯战役和约克镇战役，并继续率领着新罕布什尔部队。然而亚历山大·斯科梅尔的去世，使得他对这场胜利的乐趣索然全无。1783年，他父亲去世后，吉尔曼离开了军队并返回埃克塞特，继承父亲的事业。
吉尔曼仅仅担任了非常短期的商人，随后他继续从政并担任立法官。在效力于大陆军时，他吸取了很多开国者的想法，包括乔治·华盛顿和亚历山大·汉密尔顿。这些影响力，以及父亲的作为及他此前的领导组织经验，驱使着这位年轻的老兵返回政治生涯。1786年，新罕布什尔立法机关任命他担任大陆会议的代表，同年他被选为安纳波利斯会议的代表。
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