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作为归纳法的起始步骤，单一个集合组成的族，能打碎空集，已足个。
至于递推步骤，可假设引理对任意少于个集合组成的族皆成立，且族有至少两个集合，故可选取元素为其一的元素，但不属于另一集。如此便可将的集合分成两类：包含的集合归入子族，不含的则归入。
由归纳假设，两子族各自打碎的集合数，其和至少为。
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王翠翘，明朝山东临淄人（今山东淄博）。事迹最早见于茅坤的《纪剿除徐海本末》，后来王翠翘也作为角色出现在不同作品中。
出身一般人家，父母早逝，入临淄倡家，是秦淮歌妓，后嫁海盗徐海为妻，飘泊海上，听从胡宗宪劝说徐海归顺胡宗宪。徐海为陈东所逼，跳水自尽。王翠翘的结局，正史上没有明确记载，一般认为为官兵所押返，后亦跳水自杀。民间说法死于徐海被乱军围剿时；另一种说法，胡宗宪要把她许配给罗龙文，更有甚者，说胡宗宪自己要娶其为妻，但结果都是被她拒绝后投海自尽。
王翠翘的故事出现在很多虚构作品中，最先是青心才人《金云翘》，篇名是从王翠翘、妹妹王翠云、情人金重姓名各取一字而来。故事中的王翠翘出身官宦之家，早年与金重相恋，后因事离别，后来王翠翘家中遭逢变故，被卖入马不进及马秀妈所开妓院，改名马翘，先被楚子任欺骗，后嫁束守（字其心）为外室，却被元配宦氏妒恨，与母亲、家奴合谋把她弄成假死，改换身份为婢，改名花奴，被宦氏虐待，后请求出家，法号濯泉，被软禁于宦家的观音阁写经，之后逃到招隐庵，与尼姑觉缘结拜为姊妹，后因被揭发拿去了宦家观音阁的钟磐而再次逃走到觉缘干娘薄妈妈家中，但薄妈妈不想长期收留她，就把她嫁给姪儿薄幸，却又再次被卖到娼家，后来再嫁海盗徐海，徐海为她报了马不进、秀妈、楚子任、宦氏母女家奴、薄氏婶姪之仇。之后劝徐海归降，却中计，徐海被杀，她认为自己害死了徐海，就跳钱塘江自尽。又被觉缘救起。而此时金重不知翠翘去向多年，就娶翠云为妻，后来与王翠翘重逢，有情人终成眷属。
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迈克尔·约翰斯 （Michael Johns，9月8日）是一名美国医疗保健企业管理者，美国联邦政府前官员、保守派政策分析员及作家。他是美国茶党运动的创始人之一。
约翰斯出生于宾夕法尼亚州阿伦敦，1982年毕业于宾夕法尼亚州以马斯的以马斯高中，并在1986年毕业于佛罗里达州科勒尔盖布尔斯的迈阿密大学。
20世纪80年代，他作为传统基金会的外交政策分析员，帮助构建并推广罗纳德·里根管治下的许多外交政策，而且是美国著名的苏联内政、外交政策评论家。他于1987年发表的传统基金会散文《70年的罪恶：从列宁至戈尔巴乔夫时期的苏联》是里根使用“邪恶帝国”形容前苏联的最明确的辩护。他还是传统基金会中研究第三世界的卓著专家，是里根主义的主要倡导者。他是反共产主义武装力量的显赫支持者，并探访全球各地的反共产主义武装力量，包括安哥拉的若纳斯·萨文比，以及柬埔寨、尼加拉瓜等其他国家的武装团体。
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